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巧用学生资源的新尝试——《数学广角——重叠问题》教学案例

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[2009年5月发表于国家级《小学数学》2009第2辑]

一、背景分析
《重叠问题》是人教版三年级下册P108数学广角的教学内容,通过生活中的事例了解“集合”这一基本思想。集合是比较系统、抽象的数学思想方法,学生在一年级时学习过的分类思想和方法实际上就是集合思想的基础。教学目标为:学会借助直观图,利用集合图的思想方法解决简单的实际问题,并能运用数学语言进行描述。掌握解决重叠问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性。培养观察、思考和分析问题的能力。
这一节课,只是让学生通过生活中容易理解的题材初步体会这种思想方法,为后继学习打下基础,在教学中,通过创设生动活泼的情境,调动学生已有经验,帮助学生借助直观、熟悉的题材,理解数量关系,渗透集合的有关思想方法,体会用集合思想解决问题的策略。然而,我们在听课调研中发现,有的教师把本来就比较深奥的“集合思想”拔高要求,不解决基本问题,跳开教材内容,人为地创设一些复杂的情境让学生解决问题,不要说学生被弄糊涂了,连听课的教师也发生了争议,这样造成课堂教学的损失是在所难免的。为了正确定位教学目标,把握学习起点,让学生真正学有收获,笔者在嘉兴市名教师送课活动中,进行了巧用学生资源的新尝试,取得了意想不到的效果。
二、教学案例
(一)复习分类,引出冲突
师:(出示一把粉笔和自动笔)请同学们把这些笔分分类。
生:粉笔一类,自动笔一类。
(分开成两个信封袋,并贴出。)
师:把下列算式分类:2+3,8÷2,12÷4,5+7,10÷5。
生:把除法和加法分开成两类。


师:请你们把动物分类:鱼,狗,虾,青蛙,鸡。
生1:(口头汇报)分成两类,生活在陆地一类,生活在水中一类,但是青蛙两处都在。
生2:(引出冲突)不行的,分类时,不能把青蛙分在两个地方的。
(众生):对呀,是的。
(二)激发潜力,独立创造
师:我们能不能设计一种新的图,把生活在陆地和生活在水中的动物的关系清楚地表示出来呢?(学生设计)
生:(汇报展示)我们科学课上学过这样的图。冰和水有相同之处和不同点,相同之处就填在中间相交的地方,不同点填在左右两边。
师:很好,把其它学科学到的方法用到今天的课上了。能说说这幅图表示的意思吗?


生1:从图中可以看出,中间的青蛙既生活在水中,又生活在陆地。
生2:鱼、虾和青蛙生活在水中,狗、青蛙和鸡生活在陆地。
生3:鸡、狗只生活在陆地,鱼、虾只生活在水中。
师:好。请同学们把图中的意思说给同桌听。
师:我们生活中还有许多这样的图(P108例题图)看了这幅图,你能知道些什么信息?


生1:参加语文小组有8人。
生2:参加数学小组有9人。
生3:参加语文、数学小组一共有17人。(教师板书)
(话音刚落,反对声四起)不对,不对。
生4:(反问)9+8=17(人),哪里错了?
生5:杨明、李芬和刘红既参加语文组又参加数学组,你重复计算了。要17-3=14(人)才对。(教师板书)
师:(板书:重复)请注意他说到了一个词“重复”,在这里是什么意思?
生1:杨明、李芬和刘红两个组都算了,只能算一次。
生2:这里又不可能有两个杨明、两个李芬、两个刘红的。
生3:还可以8+9-3=14(人)来计算。
师:为什么“-3”
生1:3人重叠、重复了,只能算一次。如果不减,重复算了。
生2:还可以这样计算:5+3+6=14(人)。(教师板书)
师:谁能看懂这个算式表示的意思?
生:5人是只参加语文的,3人是既参加语文组又参加数学组的,4人是只参加数学组的。
师:好!同学们能够用算式来表达自己的意思了。
师:如果让你选择,你想参加哪个小组,你的名字应填在什么位置上?
生1:我想只参加语文组,应该填在左边5个同学那里。
生2:我既参加语文组又参加数学组,应该填在中间3人那里。
生3:我想只参加数学组,应该和右边6个同学作伴。
师:同学们各有各的兴趣爱好。
师:我们来完成教材上P109作业1—2,请认真填图并计算。(交流、评价略)
(三)实际应用,拓展提高
师:出示(请每位学生任意写1——8中不同的4个数,你能知道任意两人一共可能写了几个不同的数吗?)
师:(汇报:先请任意两人上前,不让学生知道他们写了什么数。)
生1:我想他们可能一共写了6个数。
生2:为什么?
生3:因为可能两人有两个数是写得相同的。
(展示结果:1人写了2、4、5、8,另一人写了1,7,5,6。没有猜对。)
师:再请两位上前。到底有几种可能呢?有什么办法能使结果不重复又无漏掉呢?
生1:我想一共最多写8个不同的数,可能两人一个数也不重复。
生2:我想一共最少写4个不同的数,可能两人写的数全部重复。
生3:我想一共可能写7个不同的数,可能两人1个数重复。
生4:我想一共可能写6个不同的数,可能两人2个数重复。
生5:我想一共可能写5个不同的数,可能两人3个数重复。
(展示:两人一共写了5个不同的数。确实算对了,同学们很自豪。)
……
三、教学反思
(一)学习需求因认知冲突而激发
分类思想和方法是集合思想的基础。分类是根据物品的某一属性进行的,分类的标准不同,分类的结果可能不同。被分的物品不能重复分,即某物品不能既是这一类又是另一类,被分的物品要全部分掉不能遗漏。本案例找准分类这一起点,从对笔、算式分类入手进行复习引入,而当对“鱼,狗,虾,青蛙,鸡”进行分类时,发现不能简单地分成两类,这样就引发了学生认知冲突,触发了学习需求,提高了学习的积极性。主要表现在,学生在探索中,能够借鉴科学中用过的集合图,把“生活在陆地”和“生活在水中”的动物的关系清楚地表示出来,并且能够说出图的每一部分的含义。可见,在认知冲突中,学生的思维被充分激活。
(二)深入探索因同伴观点而诱发
正确计算集合中的数量,是本课的一个重点。实际上这是容斥原理的一种应用。在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,先不考虑重叠部分,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。这样深奥的方法学生能够相得到吗?我们不妨相信学生,让他们一试。如果说给了机会,学生没有想到,那么再讨论也不迟,如果没有给学生机会,那么就是教学的失误。本案例围绕“参加语文、数学小组一共有17人”这个来自学生的生成资源,放手让大家大胆思考、表达、争论,学生的解读是丰富多彩的,富有建设性的,从不同角度深入浅出地把计算方法说明出来,做到了把复杂问题简单化,是有成效的。
(三)大胆应用因同伴素材而行动
让学生掌握解决重叠问题的一些基本策略,初步体会“集合思想”,能够借助于读图来解决问题是十分必要的,然而又不能总是依赖于读图来解决问题,必须重新回到实际问题中进行应用。在灵活应用的过程中,提升学生的认识水平。本案例一个亮点就是起点低,步步为营,让学生的思维能力得到锻炼。例如,解决“请每位学生任意写1——8中不同的4个数,你能知道任意两人一共可能写了几个不同的数吗?”的问题,学生思考、讨论十分踊跃,研讨素材来自学生,看似信手拈来,其实包含了丰富的“集合思想”。逐渐达成“既无遗漏又无重复”的目标,表明能够针对具体情境解决问题。

 


作者:沈坤华 来源:浙江省桐乡市实验小学教育集团 发布时间:2009年07月27日
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